Objem prostorových těles

I. Uvedení do tématu

Objem je základní fyzikální veličinou, která vyjadřuje to, jak velký prostor těleso zaujímá. S touto veličinou se setkáváme v každodenním životě, například, když si hlídáme svůj pitný režim, kupujeme si nápoje, vaříme vodu na těstoviny, ale neobejdou se bez ní také inženýři, chemici a mnohé další profese. Při výpočtu objemu můžeme často s výhodou použít základní prostorové geometrické útvary, na které složitější tělesa můžeme rozdělit nebo je jimi aproximovat.

II. 3D modelování

Vyzvěte žáky, aby si otevřeli program Tinkercad a vytvořili si v něm nový projekt. Pro snadnější splnění podmínky týkající se maximálních rozměrů půdorysu složeného tělesa žákům ukažte, že mohou s výhodou použít nastavení mřížky pracovní plochy. V pravém dolním rohu kliknutím na tlačítko Upr. mříž. změňte nastavení na hodnoty výška 80 mm a šířka 80 mm. Případně můžete nastavit i jiný krok rozlišení. V tomto případě je krok nastaven na výchozí hodnotu 1,0 mm.

Dále již žáci postupují sami. Postupně si budou vybírat základní prostorová tělesa z nabídky Tinkercadu, zvolí jejich rozměry a na jejich základě vypočtou objem. Jednotlivá tělesa mohou sjednocovat nebo provést jejich průnik. Finální složené těleso musí splňovat obě zadané podmínky a žáci musí znát jeho objem.

Dále je uveden vzorový postup prototo zadání – použít minimálně 6 základních prostorových těles na půdorysu o rozměrech 8 cm × 8 cm. Pro jednoduchos jsou dále v textu použity jednotky milimetr. Vypočtené objemy základních prostorových těles jsou zaokrouhlené na jednotky.

Mnou použitá tělesa jsou shrnuta v následující tabulce:

1. Jako první jsem vytvořil kvádr o stranách 40 × 30 × 40 mm a umístil jej přibližně do středu pracovní plochy.

2. Jako druhé těleso jsem zvolil kužel o poloměru podstavy 15 mm a výšce 20 mm. Jeho podstavu jsem následně umístil na horní stranu kvádru, tělesa vůči sobě zarovnal na střed a následně je seskupil. Objem kvádru a kuželu se tedy sečte.

3. Jako třetí těleso jsem k již vytvořenému přidal válec o poloměru podstavy 20 mm a výšce 40 mm. Jeho osu jsem umístil na jeden z rohů kvádru. Po sjednocení již vzniklého složeného tělesa a tohoto válce tedy došlo k nárůstu objemu pouze o 3/4 velikosti objemu válce.

4. Čtvrtým vytvořeným tělesem byla koule o poloměru 12,5 mm. Tu jsem umístil na jednu ze stěn kvádru, její polohu vystředil a tentokrát aplikoval průnik. Toho jsem docílil změnou vlastnosti tvaru z tělesa na díru. Od již vzniklého objemu bylo v tomto případě nutné odečíst polovinu objemu koule.

5. Pátým vytvořeným tělesem byl pravidelný šestiboký hranol s délkou strany podstavy 15 mm a výškou 40 mm. Ten jsem umístil na jednu ze stran kvádru tak, aby se s ním překrývala právě jedna jeho polovina. Následně jsme provedl sjednocení již vzniklého složeného tělesa a hranolu.

6. Jako poslední z těles přibyl pravidelný čtyřboký jehlan o délce strany podstavy rovné 15 mm a výšce 15 mm. Finální podobu nabylo složené těleso průnikem s jehlanem.

Výsledné složené těleso splňuje podmínku týkající se půdorysu a má výsledný objem 96 887 mm³. Následujícím krokem je vytvoření formy, pomocí které se ověří vypočtený objem.

Formu lze vytvořit jednoduše použitím stejných příkazů jako při tvorbě složeného tělesa, a to průnikem složeného tělesa a nově vytvořeného kvádru o rozměrech větších, než jsou celkové rozměry složeného tělesa. V mém případě jsou délka, šířka a výška rovny hodnotám 60 mm, 65, mm a 60 mm. Minimální tloušťku stěny formy jsem se rozhodl nastavit na 2 mm, proto vytvořím kvádr o rozměrech 64 mm × 69 mm a 62 mm. K šířce a délce jsem přidal celkem 4 mm (na každou stranu 2 mm) a k výšce pouze 2 mm, protože forma musí být z jedné strany otevřená.

Aby bylo možné provést průnik obou těles, je nutné nastavit složené těleso na typ díra a obě telesa vůči sobě patřičně zarovnat – vystředit a srovnat na základnu obou těles. Poté již stačí provést jejich seskupení. Výsledný tvar formy lze vidět na obrázku níže.

Formu zkontrolujeme, zda průnik proběhl v pořádku a tělesa jsem vůči sobě správně zarovnali. Jak jste si již možná všimli, tak formu můžeme později použít například jako tužkovník nebo květináč, vytištěný materiál tedy určitě nepřijde na zmar. Pro ušetření tiskových nákladů lze formu případně dále upravovat, a to vytvořením dalších otvorů. Po úpravě tedy forma může vypadat následovně, přibyly do ní celkem 3 otvory navíc. Ty se samozřejmě do měření objemu počítat nebudou.

Posledním krokem v Tinkercadu je export modelu kliknutím na tlačítko Export a jeho uložení ve formátu .stl do lokálního úložiště.

III. 3D tisk

Před vlastním 3D tiskem je nutné model klasicky vyslicovat. Použitý software se ve většině případů liší v závislosti na modelu tiskárny. Jelikož se jedná o model, který nebude mechanicky ani teplotně namáhaný, je dobrou volbou materiál PLA. Kvalita tisku bude postačovat standardní. Pro tisk tohoto modelu jsou doporučena následující nastavení:

• Výška vrstvy: 0,20 mm
• Podpěry: dle potřeby
• Výplň: 10 %
• Perimetry: 2
• Počet plných vrchních a spodních vrstvev: 3

Dejte si pozor na to, abyste omylem nezměnili rozměry modelu. Nastavení samozřejmě uzpůsobte svému modelu a tiskárně. Pro úsporu tiskového času můžete na tiskovou podložku umístit více modelů zaráz. Díky podmínce omezující rozměry půdorysu by se v mém případě na tiskovou podložku vlezlo 9 kusů formy.

Po provedení nastavení a uložení G-code jej pošleme k tisku. Na obrázcích níže můžeme vidět tisk první vrstvy a finální podobu tisku.

IV. Experiment

Po vytištění formy již můžete přistoupit k experimentální části této lekce. Diskutujte s žáky možné způsoby změření objemu (vážení a výpočet přes hustotu, použití odměrných válců).

V tomto případě jsem pro změření objemu použil váhy s přesností vážení na 0,1 g. Jelikož má voda hustotu 1 g/cm³, odpovídá zvážené množství přímo objemu v cm³. Vybídněte žáky, aby vypočítaný objem složeného tělesa převedli alespoň do dalších 3 jednotek objemu a procvičili si tak převod jednotek. Já jsem objem počítal v mm³ a převedl jsem jej do těchto jednotek 96 887 mm³ = 96,887 cm³ = 0,0969 l = 0,0969 dm³ = 0,000097 m³. Následně přistupte k samotnému vážení/měření. Po umístění formy na váhu ji vynulujte, tak abyste vážili pouze hmotnost vody. Vodu opatrně přilévejte až po úplný okraj.

Jak můžete vidět na obrázku vpravo nahoře, navážený objem odpovídá vypočítanému objemu a výpočet byl tedy správný.

V. Shrnutí

Výsledný model určitě nevyhazujte, dá se využít různými způsoby, například jako praktický tužkovník!